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Fórmula covarianza variable discreta - Agrupaciones - Variables inyectivas

Pregunta planteada en el curso Estadística para universitarios e investigadores (2 ECTS)
Hola Guillermo,

¿ Puedes por favor detallar las condiciones de la muestra que llevan de la fórmula de la covarianza en variable discreta de una a otra expresión según se muestra en la imagen inferior ?,  creo saber como se llega (ver en naranja mi razonamiento) pero me gustaría leer tu explicación, te agradezco si huyes de formalismos matemáticos y expresas tales circunstancias de una manera pragmática en un ejemplo. Si te parece, te desarrollo un origen de idea. Supongamos que tenemos una población de arboles talados en un bosque, de los cuales queremos estudiar la densidad y la resistencia a flexión. Tomamos una muestra de madera de tales árboles y hacemos n probetas para su medida de propiedades y ensayos.

Para cada probeta i obtenemos una densidad y una resistencia, ejemplo 456,2 Kg/m3 y 25,2 Mpa. Si asumo que para cada probeta solamente puedo tener un único valor de densidad y resistencia, si además dejamos los datos en bruto, es decir, sin agrupar por intervalos de densidad y resistencia podemos utilizar la fórmula de VA 1.5. Si por el contrario agrupamos valores por intervalos, por ejemplo grupo A [455 a 460 kg/m3] y grupo 1 [25 a 26 Mpa] siendo los grupos las nuevas variables o bien para cada probeta realizamos dos ensayos de densidad y uno de resistencia sobre la misma probeta (digamos en distintas zonas de la misma) Pi -> (xi , yj) & (xi , ym) entonces tengo que aplicar la fórmula de VA 2.5. ¿ Es correcto este razonamiento ?.
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Gracias,
Manuel. 

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